Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Докажите что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.

Ответ:

  По одной из формул: площадь  треугольника равна половине произведения длин его сторон на синус угла между ними.

 При пересечении диагоналей вертикальные углы равны.

Пусть ∠АОВ=∠DOC=α Тогда смежные им ∠DOA=∠BOC=180°- α.  sinα=sin(180°- α)

Примем АО=а, ВО=b, СО=с, DO=d. Тогда:

        S(AOB)=a•b•sinα/2

       Ѕ(DOC)=d•c•sinα/2

S(AOB)•Ѕ(DOC)=a•b•c•d•sin²α/4

        S(AOD)=a•d•sinα/2

        S(BOC)=b•c•sinα /2

S(AOD)•S(BOC)=a•d•b•c•sin²α/4

        a•b•c•d•sin²α/4 =a•d•b•c•sin²α/4 ⇒

S(AOB)•Ѕ(DOC)= S(AOD)•S(BOC), что и требовалось доказать.

Если у двух треугольников есть равные высоты или они совпадают, то их площади относятся как основания, к которым проведены сами высоты.

S (aob) = S₁ , S (boc) = S₂ , S (cod) = S₃ , S (aod) = S₄

S₁/S₄ = BO/OD  ,  S₂/S₃ = BO/OD  ⇒  S₁/S₄ = S₂/S₃  ⇒  S₁•S₃ = S₂•S₄ , ч.т.д.