Решить в натуральных чисел. х^3-4х=у^2

Ответ

Автор - Guerrino

Пусть числа x, y взаимно просты.

Поделим обе части на $x^2$ ;

Получим $y^2equiv -4 mod x$ . Рассмотрим минимальное такое значение y.

Пусть $yequiv t mod x$ , причем $tneq pm4$ . Тогда

$y^2equiv t^2equiv -4 mod x$ , но $t<y$ , противоречие.

Значит, $yequiv pm4 mod x$ .

Пусть $y=bxpm 4$ ; Получаем уравнение: $x^3-b^2x^2-4x(1+b)mp4=0$ , так как мы ищем натуральные решения, то они лежат среди натуральных делителей свободного члена. Проверяя, получаем, что решений в натуральных числах нет.