ДАЮ 30 БАЛЛОВ, ТОЛЬКО РЕШИТЕ ХОРОШО
На доске пишут числа. За одну операцию можно дописать сразу два числа — 2 • А и 3 • А, если на доске уже написано число А. Можно ли, начав с некоторого числа и дописывая числа по указанному правилу, добиться того, чтобы сумма всех чисел на доске стала равна 2007?

Ответ:

Нельзя

Объяснение:

Два наблюдения:

1. Каждый раз сумма увеличивается на 5A, поэтому остаток от деления суммы на 5 не меняется и совпадает с остатком от деления на 5 исходного числа.
2. Каждое слагаемое делится на исходное число, поэтому исходное число является делителем суммы.

Итак, исходное число дает остаток 2 при делении на 5.

Все делители числа 2007: 1, 3, 9, 223, 669, 2007.

Среди собственных делителей числа 2007 (то есть меньших самого числа) нет ни одного делителя, дающего остаток 2 при делении на 5, значит, получить сумму 2007 не получится.