Даю 20 баллов!
Имеется 2003 целых числа с суммой 0. Разрешается выбрать любые 300 чисел и поменять у каждого из них знак либо уменьшить каждое на 1. Докажите, что при помощи таких операций можно получить 2003 нуля.

Пусть еще не все числа нули.

• Выбираем одно положительное число, одно отрицательное и 299 любых других чисел (если все числа были бы одного знака и хотя бы одно отличалось от нуля, то сумма не могла бы быть равна нулю, так что такой выбор всегда возможен).
• Берем положительное число и выбранные 299 чисел. Вычитаем из них 1.
• Берем отрицательное число и выбранные 299 чисел. Меняем им знак, вычитаем из них 1, опять меняем знак.

В результате изменятся только выбранное отрицательное и выбранное положительное числа: к отрицательному будет прибавлено 1, из положительного - вычтено 1. Каждое из 299 чисел не меняется:

Сумма не поменяется, так что такие действия можно продолжать до тех пор, пока все числа не станут нулями.

Процесс завершится за конечное число шагов: действительно, на каждом шаге сумма модулей всех чисел - неотрицательное целое число - уменьшается на 2, поэтому, если сумма модулей исходных чисел равна 2S, за S итераций сумма модулей станет равна 0, что возможно, только если все числа - нули.