У трикутнику ABC на середній лінії DE, паралельній AB, як на діаметрі побудовано коло, що перетинає сторони AC i BC в точках m i N. Знайти MN, якщо BC=a, AC=b, AB=c.
(8-9 клас, можна україньскою або російською)

∠DME = ∠DNE = 90° - углы, опирающиеся на диаметр

ΔCMN подобен ΔСED по 2 пропорциональным сторонам и углу между ними:   |cosα| = CN/CD = CM/CE = MN/DE

По теореме косинусов в ΔАВС:  |cosα| = (а² + b² - c²)/2ab

MN/DE = (a² + b² - c²)/2ab  ⇒  MN = c•(a² + b² - c²)/4ab