Помогите пожалуйста с ответом: доказать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе: а=(11,1,2), b=(-3,3,4), с=(-4,-2,7), d=(-5,11,-15). Спасибо)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов

$displaystyleleft|begin{array}{ccc}11&1&2\ -3&3&4\-4&-2&7end{array}right|= 11cdot 3cdot 7+1cdot 4cdot(-4)+(-3)cdot (-2)cdot 2-\ \ \ -(2cdot 3cdot (-4)+(-2)cdot 4cdot 11+ 7cdot 1cdot (-3))= 360ne 0$

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы $vec{a},~vec{b},~vec{c}$ линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства $mathbb{R}^3$

Соотношение, записанное для векторов $d=alpha a+beta b+gamma c$ , справедливо для каждой из проекций:

$begin{cases}&text{}alphacdot 11+beta cdot 1+gammacdot 2=-5\&text{}alpha cdot (-3)+beta cdot 3+gamma cdot 4=11\&text{}alphacdot(-4)+betacdot(-2)+gammacdot 7=-15end{cases}~~Rightarrow~~begin{cases}&text{}alpha =-dfrac{59}{90}\&text{}beta=dfrac{83}{18}\&text{}gamma=-dfrac{6}{5}end{cases}$

вектор d имеет разложение в базисе a, b, c:

$vec{d}=-dfrac{59}{90}vec{a}+dfrac{83}{18}vec{b}-dfrac{6}{5}vec{c}$