Помогите решить задачу

Ответ

Проверено экспертом

Автор - AnonimusPro

$1. sqrt[3]{5x+7}-sqrt[3]{5x-12}=1$

делаем замену:

$sqrt[3]{5x+7}=a \sqrt[3]{5x-12}=b$

избавляемся от корня:

$a^3=5x+7\b^3=5x-12\a^3-b^3=5x+7-5x+12\a^3-b^3=19$

составляем систему и решаем ее:

$left { {{a^3-b^3=19} atop {a-b=1}} right. \left { {{(a-b)(a^2+ab+b^2)=19} atop {a=b+1}} right. \(b+1)^2+b(b+1)+b^2=19\b^2+2b+1+b^2+b+b^2=19\3b^2+3b=18\b^2+b-6=0\D=1+24=25=5^2\b_1=frac{-1+5}{2}=2 \b_2=frac{-1-5}{2}=-3\a_1=2+1=3\a_2=-3+1=-2$

подставляем значения a и b:

$1)a=3;b=2\3^3=5x+7\5x=20\x=4\2^3=5x-12\5x=8+12\5x=20\x=4\2)a=-2; b=-3\-8=5x+7\5x=-15\x=-3\-27=5x-12\5x=-15\x=-3$

В итоге получили два корня: -3 и 4

Ответ: 4; -3

следущее уравнение решается аналогично.

$2. sqrt[3]{x+6}+sqrt[3]{66-x}=6\sqrt[3]{x+6}=a\sqrt[3]{66-x}=b\a^3=x+6\b^3=66-x\a^3+b^3=72\left { {{a^3+b^3=72} atop {a+b=6}} right. \left { {{(a+b)(a^2-ab+b^2)=72} atop {a+b=6}} right. \left { {{a^2-ab+b^2=12} atop {a=6-b}} right. \(6-b)^2-b(6-b)+b^2=12\(b-6)^2+b(b-6)+b^2=12\b^2-12b+36+b^2-6b+b^2=12\3b^2-18b+24=0\b^2-6b+8=0\D=36-32=4=2^2\b_1=frac{6+2}{2} =4\b_2=frac{6-2}{2} =2\a_1=6-4=2\a_2=6-2=4$