Найдите функции, обратные данным $y =left { {{x^2-3x+2} atop {-x+2}}$
Так что первое x меньше или равно 0, а второе х больше либо равно 0

Ответ

Автор - 000LeShKa000

Ответ:

$y = left { {{2-x, x leq 2} atop {1.5 - sqrt{x + 0.25}, x geq }2} right.$

Объяснение:

Рассмотрим случай x ≤ 0

Тогда функция принимает значение

$y = x^2 - 3x + 2, x geq 0$

Попробуем выразить явно функцию. Для этого выделим полный квадрат в правой части:

$x^2 - 3x + 2 = \(x^2 - 3x + 2.25) - 0.25 = (x - 1.5)^2 - 0.25$

Теперь,

$y = (x - 1.5)^2 - 0.25\y + 0.25 = (x - 1.5)^2 \x = 1.5 бsqrt{y+0.25}$

Для x ≤ 0 соответствует корень, взятый с отрицательным знаком. Поэтому обратная функция (просто в полученной функции меняем местами x и y), получим:

$y = 1.5 - sqrt{x + 0.25}$ .

Т.к. y ≤ 0, найдем соответствующее значение x:

$1.5 - sqrt{x + 0.25} leq 0\sqrt{x + 0.25} geq 1.5\x + 0.25 geq 2.25\x geq 2$

Один кусочек нашли, займемся другим

При x ≥ 0 у нас функция принимает значение:

$y = -x + 2$

Выразим x через y, и после этого поменяем их местами

$y - 2 = -x\x = 2 - y$

Т.е.

$y = 2 - x$

Поскольку y ≥ 0, найдем x, соответствующий этой обратной функции

$2 - x geq 0 \x leq 2$

Соединяя все воедино, получим следующую кусочно-заданную функцию:

$y = left { {{2-x, x leq 2} atop {1.5 - sqrt{x + 0.25}, x geq }2} right.$

Автор - SmEgDm

$f(x)=left { {{x^2-3x+2, x<0,} atop {2-x, xgeq 0.}} right.$

1) $y = x^2-3x+2=(x-1,5)^2-0,25.$

Значит, при x ≤ 1,5 (соответственно и при x < 0), функция $y = x^2-3x+2$ убывает, тогда при x < 0 y > f(0) = 2.

$y=(x-1,5)^2-0,25,\y+0,25=(x-1,5)^2,\1,5 - x=sqrt{y+0,25}, (*)\x=1,5 - sqrt{y+0,25}.$

(*): при x < 0 $sqrt{(x-1,5)^2}=|x-1,5|=1,5-x.$

2) $y = 2-x.$

$y = 2-x,\x = 2-y;\2-y geq 0,\y leq 2.$

В итоге получаем:

$f^{-1}(x)=left { {{2-x, x leq 2,} atop {1,5 - sqrt{x+0,25}, x>2.}} right.$