Постройте график функции у= (|х-4|+х+4) / х и определите, при каких значениях с прямая у=с будет иметь с графиком хотя бы одну общую точку.

Дана функция у= (|x-4|+x+4) / x.

Надо раскрыть модуль.

1) x > 4,   у= (х-4+х+4) / х = 2x / x = 2 . Это прямая линия (делить на х можно).

2)  x < 4,   у=-х+4+х+4) / х = 8 / x .Это гипербола в 3-й четверти и в 1-й четверти от х = 0 до х = 4.

Область значений функции: у ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞).

В этих же промежутках и будет прямая у=с будет иметь с графиком хотя бы одну общую точку.

Ответ: с ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞).

При x ≥ 4 график - прямая, проходящая через точку (0, 2) и параллельная оси абсцисс.

При x < 4 график - гипербола.

График см. во вложении.

Понятно, что при c ∈ [0; 2) прямая y = c не будет пересекать наш график. Значит, c ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞).

Ответ: c ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞).