Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - aastap7775

$x_1-3x_2-4x_3+x_4=0\5x_1-8x_2-2x_3+x_4=0\-2x_1-x_2-10x+3-5x_4=0$

1. Согласно теореме Кронекера-Капелли будем искать ранги соответствующих матриц, пока не найдем базис.

$left[begin{array}{ccc}1end{array}right] = 1 neq 0$

$left[begin{array}{ccc}1&-3\5&-8end{array}right] = -8 + 15 = 7 neq 0$

$left[begin{array}{ccc}1&-3&-4\5&-8&-2\-2&-1&-10end{array}right] = (-8)(-10) + (-3)(-2)(-2)+5(-4)(-1) - ((-4)(-8)(-2)+5(-3)(-10)+(-1)(-2)) = 0$

Оп, определитель равен нулю. В точности такой же, как и расширенной матрицы. Значит, $x_4=c_4in R$

Перепишем упрощенную систему:

$x_1-3x_2-4x_3+c_4=0\5x_1-8x_2-2x_3+c_4=0\-2x_1-x_2-10x_3-5c_4=0$

Из первого уравнения выразим $x_1$ :

$x_1=3x_2+4x_3-c_4\5x_1-8x_2-2x_3+c_4=0\-2x_1-x_2-10x_3-5c_4=0$

Теперь подставим $x_1$ во второе уравнение СЛАУ:

$x_1=3x_2+4x_3-c_4\5(3x_2+4x_3-c_4)-8x_2-2x_3+c_4=0\-2(3x_2+4x_3-c_4)-x_2-10x_3-5c_4=0\- - - - - - - - - - - - - - - - - - -\x_1=3x_2+4x_3-c_4\15x_2+20x_3-5c_4-8x_2-2x_3+c_4=0\-6x_2-8x_3+2c_4-x_2-10x_3-5c_4=0\- - - - - - - - - - - - - - - - - - -\x_1=3x_2+4x_3-c_4\7x_2+18x_3-4c_4=0\-7x_2-18x_3-3c_4=0\- - - - - - - - - - - - - - - - - - -\x_1=3x_2+4x_3-c_4\7x_2+18x_3-4c_4 + (-7x_2-18x_3-3c_4) =0\-7x_2-18x_3-3c_4=0\- - - - - - - - - - - - - - - - - - -$

$x_1=3x_2+4x_3-c_4\-7c_4=0 =>c_4=0\-7x_2-18x_3-3c_4=0\- - - - - - - - - - - - - - - - - - -\x_1=3x_2+4x_3-0\7x_2+18x_3-4*0 =0\-7x_2-18x_3-3*0=0\- - - - - - - - - - - - - - - - - - -\x_1=3x_2+4x_3\7x_2 = -18x_3 => x_2 = -frac{18}{7}x_3\\--------------------\$

$x_1 = 3 *-frac{18}{7}x_3 + 4x_3 = -frac{26}{7}x_3\x_2 = -frac{18}{7}x_3\x_3 = c_3\x_4 = c_4$