Пожалуйста решите и объясните

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Возводим обе части уравнения до квадрата, получим

$x^2+2cdot dfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}+dfrac{x^2}{x^2-1}=dfrac{35^2}{12^2}\ \ dfrac{x^4}{x^2-1}+2cdotdfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}=dfrac{35^2}{12^2}~~Rightarrow~~dfrac{x^4}{x^2-1}+2cdotdfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}+1=dfrac{35^2}{12^2}+1\ \ left(dfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}+1right)^2=dfrac{1369}{144}\ \ \ dfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}+1=pmdfrac{37}{12}$

Решаем уравнения отдельно.

$dfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}+1=dfrac{37}{12}~~~Rightarrow~~~dfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}=dfrac{25}{12}~~~Rightarrow~~ 12x^2=25sqrt{x^2-1}\ \ 12(sqrt{x^2-1})^2-25sqrt{x^2-1}+12=0$

Решаем как квадратное уравнение относительно $sqrt{x^2-1}$

$sqrt{x^2-1}=dfrac{3}{4}~~Rightarrow~~ x^2-1=dfrac{9}{16}~~~Rightarrow~~~ x=pmdfrac{5}{4}\ \ sqrt{x^2-1}=dfrac{4}{3}~~~Rightarrow~~~ x^2-1=dfrac{16}{9}~~Rightarrow~~~ x=pmdfrac{5}{3}$

Аналогично, $dfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}+1=-dfrac{37}{12}$

$dfrac{x^2}{sqrt{x^2-1}}=-dfrac{37}{12}-1$

Это уравнение решений не имеет, так как левая часть неравенства положительно на области определения, а правая - отрицательная.

Если подставить найденные корни, получим решения x = 5/4 и

x = 5/3 данного уравнения