Из бумажного квадрата размером 10 х 10 клеток вырезали по клеточкам несколько квадратов, причем любые два из них имеют разные размеры. Какое наибольшее количество квадратов могло быть вырезано? Поясните, почему не удастся вырезать большее число квадратов.

рассмотрим два квадрата размерами i и j. Поместим в центр квадрата 10х10 точку. Тогда любой квадрат размером k>5 будет накрывать эту точку, следовательно нельзя вырезать два квадрата таких, что i+j>10. Значит, максимальное количество вырезанных квадратов — 5. Действительно, можно вырезать последовательно квадраты 1х1, 2х2,..., 5х5