Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны. Точка M— середина ребра BC.
Найдите угол между прямой SM и плоскостью CSD.

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Примем длину рёбер, равной 1.

Спроецируем отрезок SM на плоскость CSD - это будет SМ1.

Определим угол наклона боковой грани к основанию.

Проведём осевое сечение пирамиды перпендикулярно ребру CD.

Получим прямоугольный треугольник SОР. ОР = 1/2.

SР = 1*cos 30° = √3/2.

Высота SО = √((√3/2)² - (1/2)²) = √((3/4) - (1/4)) = √2/2.

Тогда sin P = (√2/2)/(√3/2) = √(2/3).

Так как отрезок ММ1 перпендикулярен плоскости CSD, то его длину находим так:   ММ1 = (1/2)*sin P = (1/2)*(√2/√3) = √2/(2√3).

Отрезок SM как апофема равен SP = √3/2.

Получаем ответ.

sin(MSM1) = MM1/SM = (√2/(2√3))/(√3/2) = √2/3.

Угол равен arc sin(√2/3) = 0,49088 радиан = 28,1255 градуса.

Векторный способ.

Пусть начало координат в точке В, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.

Координаты точек: С(0; 1; 0),  S(0,5; 0,5; √2/2).  D(1; 1; 0), M(0; 0,5; 0).

Направляющий вектор прямой имеет вид:  l m n Скалярное произведение 0,353553391    

  s = {l; m; n}  0,5 0 0,707106781

Модуль = √0,75 = 0,866025404.  

Вектор нормали плоскости имеет вид:  A B C  

  Ax + By + Cz + D = 0  0 0,707106781 0,5

                                                  квадраты 0 0,5 0,25

Модуль = √0,75 = 0,866025404

sin fi = 0,471404521  

fi = 0,490882678 радиан  =28,1255057 градус
.