последовательность
${x_n }$
определяется рекуррентным соотношением
$x_{n + 2} = frac{x_n + x_{n + 1} }{2}$
при n≥1 и начальным условием
$x_1 = a : : and : : x_2 = b$
Найдите
$lim limits _{n rightarrow infty}x_ n$

Ответ

Автор - Guerrino

Введем координатную прямую с началом в точке 0, точки a и b (пусть b>a) и кузнечика, сидящего в точке 0. Каждый раз он будет прыгать в точку, соответствующую следующему члену. Сначала он прыгнет в середину отрезка (a, b). Затем он прыгнет в середину правой середины, затем в середину левой середины и так далее. Пусть $b-a=s$ , тогда модуль длины n-ого прыжка кузнечика будет равен $frac{s}{2^n}$ ; Теперь можем считать: $a+frac{s}{2}+underbrace{frac{s}{4}-frac{s}{8}}_{frac{s}{8} }+underbrace{frac{s}{16}-frac{s}{32}}_{frac{s}{32}}+...=a+frac{s}{2}+stimesfrac{frac{1}{8} }{1-frac{1}{4} }=a+frac{s}{2}+frac{s}{6}$ ; В итоге: $a+frac{s}{2}+frac{s}{6}=a+frac{b-a}{2}+frac{b-a}{6}=frac{a+2b}{3}$ . Если же a>b, то предел равен $frac{b+2a}{3}$

последовательность определяется рекуррентным соотношением при n≥1 и начальным условием Найдите ​

Ответ

последовательность
${x_n }$
определяется рекуррентным соотношением
$x_{n + 2} = frac{x_n + x_{n + 1} }{2}$
при n≥1 и начальным условием
$x_1 = a : : and : : x_2 = b$
Найдите
$lim limits _{n rightarrow infty}x_ n$