98 баллов! Заранее спасибо!
а). Представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. И докажите, что большее произведение получить нельзя.
б). Перемножили три тысячи двоек. Докажите, что в записи получившегося числа:
не более 1000 цифр и не менее 900 цифр.

Ответ

Автор - Guerrino

а)Пусть $sumlimits_{i=1}^{n}a_{i}=100$ , при этом $prodlimits_{i=1}^{n}a_{i}=Pleq frac{(sumlimits_{i=1}^{n}a_{i})^{n}}{n^{n}}=frac{100^n}{n}$ ; Пусть $f(x)=frac{100^x}{x^x}$ , тогда $f'(x)=2ln(10)100^x-100^x-100^xln(x)$ ; Экстремум находится в точке $x=frac{100}{e}$ ; $frac{100}{e}approx36,8$ ; Поэтому при $n=37$ достигается максимум, т.е. 100 должно быть представлено в виде 37-ми слагаемых. А, значит, каждое из слагаемых либо 3, либо 2. Значит, искомое произведение есть число вида $3^mtimes 2^n,; 3m+2nleq 100$ . $p=3^mtimes 2^frac{100-3m}{2}=2^{50}times (frac{3}{2sqrt{2}})^{m}$ , поэтому чем больше m, тем лучше (возраст. функция). Стало быть, m=32, а искомый набор: ${2, 2,;3,...,;3}$ - 32 тройки и две двойки.

б) Нужно доказать неравенства: $10^{899}leq 2^{3000}leq 10^{999}$

Покажем справедливость первого: $2^{3000}>10^{900} Leftrightarrow 2^{10}>10^{3}; checkmark$

Теперь второго: $2^{3000}<10^{999} Leftrightarrow 2^{1000}<10^{333} Leftrightarrow 2^{667}<5^{333} Leftrightarrow 2^{334}<2,5^{333} ;checkmark$