В треугольнике АВС со сторонами АВ=ВС=15 и АС=18 найдите расстояние от вершины В до точек пересечения а) медиан , б) биссектрис, в) серединных перпендикуляров сторон ,г) высот

Ответ

Проверено экспертом

Автор - DNHelper

Так как каждый пункт рассматривается в качестве отдельной задачи, замечательные точки треугольника всегда будут называться O.

а) BM₂ точкой пересечения медиан делится в отношении BO : OM₂ = 2 : 1 ⇒ $BO=dfrac{2}{3}BM_2$ .

Так как AB = BC, BM₂ — высота. По теореме Пифагора $BM_2=sqrt{AB^2-AM_2^2}=sqrt{15^2-9^2}=12$ .

Тогда $BO=dfrac{2}{3}cdot 12=8$

б) Точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности. Так как AB = BC, BB₂ — высота ⇒ OB₂ — радиус (r) вписанной окружности.

Площадь треугольника ABC

$S_{ABC}=dfrac{1}{2}cdot BB_2cdot AC=dfrac{AB+BC+AC}{2}cdot rRightarrowr=dfrac{BB_2cdot AC}{AB+BC+AC}=\=dfrac{12cdot 18}{15+15+18}=4{,}5Rightarrow BO=BB_2-OB_2=12-4{,}5=7{,}5$

в) Точка пересечения серединных перпендикуляров — центр описанной окружности ⇒ OB — радиус (R) описанной окружности. Площадь треугольника ABC

$S_{ABC}=dfrac{1}{2}cdot ACcdot BH_2=dfrac{ABcdot BCcdot AC}{4R}Rightarrow R=dfrac{ABcdot BC}{2BH_2}=dfrac{15^2}{2cdot 12}=9{,}375$

г) Площадь треугольника ABC

$S_{ABC}=dfrac{1}{2}cdot ACcdot BH_2=dfrac{1}{2}cdot BCcdot AH_1Leftrightarrow AH_1=dfrac{ACcdot BH_2}{BC}=dfrac{18cdot 12}{15}=dfrac{72}{5}\cos{angle{CAH_1}}=dfrac{AH_1}{AC}=dfrac{72}{5cdot 18}=dfrac{4}{5}Rightarrow sin{angle{CAH_1}}=dfrac{3}{5}Rightarrow tg~angle{CAH_1}=\=dfrac{sin{angle{CAH_1}}}{cos{angle{CAH_1}}}=dfrac{3}{4}=dfrac{OH_2}{AH_2}=dfrac{OH_2}{9}Rightarrow OH_2=dfrac{9cdot 3}{4}=6{,}75Rightarrow BO=BH_2-\-OH_2=12-6{,}75=5{,}25$

Ответ: а) 8; б) 7,5; в) 9,375; г) 5,25