Составить уравнение линии, каждая точка М которой, удовлетворяет заданным условиям. Отстоит от прямой x=9 на расстоянии, в 4 раза меньшем, чем от точки А (-1,2)

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Теория к задаче.

Пусть имеются две точки $A(x_1,y_1),~ B(x_2,y_2)$ . Расстояние между двумя точками вычисляется следующим образом

$|AB|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Пусть имеется точка С с координатами $(x_0;y_0)$ и пусть есть общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$ . Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:

$s=dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2}}$

Решение:

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x,y)$ и эта точка по условию принадлежит нашей неизвестной кривой. Расстояние между двумя точками равна

$|AM|=sqrt{(x-(-1))^2+(y-2)^2}=sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}$

Расстояние от точки до прямой $x-9=0$ :

$s=dfrac{|1cdot x+0cdot y-9|}{sqrt{1^2+0^2}}=|x-9|$

Составим уравнение согласно условию:

$4|x-9|=sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}\ 16(x-9)^2=(x+1)^2+(y-2)^2\ (4x-36)^2-(x+1)^2-(y-2)^2=0\ (4x-36-x-1)(4x-36+x+1)-(y-2)^2=0\ (3x-37)(5x-35)-(y-2)^2=0\ 15x^2-290x+1295-(y-2)^2=0\ \ 15left(x-dfrac{29}{3}right)^2-dfrac{320}{3}-(y-2)^2=0\ \ left(x-dfrac{29}{3}right)^2 -dfrac{(y-2)^2}{left(sqrt{15}right)^2}=dfrac{64}{9}$

Найденное уравнение линии является гиперболой, его центр $left(dfrac{29}{3};2right)$