На стороне AB трапеции АВСD (BC||AD) взята точка К так, что АК:КВ=2:3. Точка О - пересечение отрезков КС и BD, точка М - пресечение двух прямых: одна из них проходит через точки А и D, другая - через К и С. Известно, что AD:BC=2:1. Найдите отношение площадей треугольников ОВС и ОСD.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - DNHelper

Треугольники OBC и OCD имеют одинаковую высоту (основания BO и OD лежат на одной прямой и оба имеют общую вершину C), значит, их площади относятся как длины оснований: $dfrac{S_{OBC}}{S_{OCD}}=dfrac{0{,}5cdot BOcdot h}{0{,}5cdot ODcdot h}=dfrac{BO}{OD}$

По теореме Менелая для треугольника ABD:

$dfrac{AK}{KB}cdotdfrac{BO}{OD}cdotdfrac{DM}{MA}=1Rightarrowdfrac{BO}{OD}=dfrac{KB}{AK}cdotdfrac{MA}{DM}$

Треугольники AMK и BCK подобны по двум углам (∠AKM и ∠BKC вертикальные, ∠AMK и ∠KCB накрест лежащие):

$dfrac{AM}{BC}=dfrac{AK}{KB}=dfrac{2}{3}Rightarrow AM=dfrac{2}{3}BC=dfrac{2}{3}cdotdfrac{1}{2}AD=dfrac{1}{3}AD$

$dfrac{BO}{OD}=dfrac{3}{2}cdotdfrac{frac{1}{3}AD}{frac{1}{3}AD+AD}=dfrac{3}{2}cdotdfrac{frac{1}{3}}{frac{4}{3}}=dfrac{3}{2}cdotdfrac{1}{4}=dfrac{3}{8}$

Ответ: 3:8