Вычислите определители, предварительно упростив их:

$a) left[begin{array}{ccc}x^{2}+a^{2}&ax&1\y^{2}+a^{2}&ay&1\z^{2}+a^{2}&az&1end{array}right] b) left[begin{array}{ccccc}7&8&5&5&3\10&11&6&7&5\5&3&6&2&5\6&7&5&4&2\7&10&7&5&0end{array}right]$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

От второй строки отнимем первую строку и от третьей строки отнимем первую строку. Получим

$left|begin{array}{ccc}x^2+a^2&ax&1\ y^2+a^2&ay&1\ z^2+a^2&az&1end{array}right|=left|begin{array}{ccc}x^2+a^2&ax&1\ y^2-x^2&ay-ax&0\ z^2-x^2&az-ax&0end{array}right|=\ \ \ =1cdot (-1)^{1+3}left|begin{array}{ccc}y^2-x^2& ay-ax\ z^2-x^2&az-axend{array}right|=(y^2-x^2)(az-ax)-\ \ \ -(z^2-x^2)(ay-ax)=(y-x)(y+x)a(z-x)-(z-x)(z+x)cdot \ \ \ cdot a(y-x)=a(y-x)(z-x)(y+x-z-x)=a(y-x)(z-x)(y-z)$

Во втором примере от четвертой строки отнимем первую строку и от второй строки отнимем третью строку и от третьей строки отнимем четвертую строку.

$begin{vmatrix}7&8&5&5&3\10&11&6&7&5\5&3&6&2&5\6&7&5&4&2\7&10&7&5&0end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&1&0&1&1\5&8&0&5&0\-1&-4&1&-2&3\6&7&5&4&2\7&10&7&5&0end{vmatrix}=$

Далее сложим четвертую строку и третью строку,умноженную на (-5) и сложим пятую строку и третью строку, умноженную на (-7), получим

$=begin{vmatrix}1&1&0&1&1\5&8&0&5&0\-1&-4&1&-2&3\11&27&0&14&-13\14&38&0&19&-21end{vmatrix}=1cdot (-1)^{3+3}begin{vmatrix}1&1&1&1\5&8&5&0\11&27&14&-13\14&38&19&-21end{vmatrix}=$

Сложим первую строку, умноженную на (-5) со второй, первую строку, умноженную на (-11) с третьей строкой и первую строку умноженную на (-14) с четвертой строкой.

$=begin{vmatrix}1&1&1&1\0&3&0&-5\0&16&3&-24\0&24&5&-35end{vmatrix}=1cdot (-1)^{1+1}begin{vmatrix}3&0&-5\16&3&-24\24&5&-35end{vmatrix}=\ \ \ =3cdot (-1)^{2+2}begin{vmatrix}3&-5\24&-35end{vmatrix}+5cdot (-1)^{3+2}begin{vmatrix}3&-5\16&-24end{vmatrix}=3(-105+120)-5cdot \ \ \ cdot (-72+80)=45-40=5$

Ответ

Автор - takushnir

Ответ и все расчеты во вложении