Указать самое большое целое значение параметра а, при котором вышеуказанное уравнение имеет два различных корня

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Пусть $2^x=t$ при этом $t>0$ , получим квадратное уравнение

$t^2+(a+1)t+dfrac{1}{4}=0\ \ D=(a+1)^2-4cdot dfrac{1}{4}=(a+1)^2-1=(a+1-1)(a+1+1)=a(a+2)>0\ \ a in (-infty;-2)cup (0;+infty).$

Далее для того чтобы исходное уравнение имело два различных корня, необходимо чтобы корни уравнения $t^2+(a+1)t+dfrac{1}{4}=0$ были положительными. По теореме Виета:

$t_1+t_2=-(a+1)>0~~~~Rightarrow~~~a <-1\ t_1t_2=dfrac{1}{4}>0$

С учетом существования корней, получим что при $a in (-infty;-2)$ данное уравнение имеет два различных корня, откуда наибольшее целое значение параметра a = -3

Ответ: a = -3.