Все на фото, интересно кто вообще сможет решить?

Ответ

Автор - zinaidazina

$lim_{x to infty} frac{(x+1)^{10}+(x+2)^{10}+...+(x+100)^{10}}{x^{10}+10^{10}}=(frac{infty}{infty})$

1) Используя бином Ньютона, возведем в 10-ую степень первое слагаемое числителя:

(x+1)¹⁰=х¹⁰+10х⁹+45x⁸+120x⁷+210x⁶+25x⁵+210x⁴+120x³+45x²+10x+1

У данного разложения старшая степень х¹⁰ имеет коэффициент, равный 1.

Аналогично можно возводить в 10-ую степень и остальные слагаемые. НО делать этого не нужно, т.к. очевидно, что у каждого слагаемого при разложении старшая степень х¹⁰ имеет коэффициент равный 1.

2) Всего в числителе 100 слагаемых, таким образом получаем сумму старших степеней с коэффициентом, равным 100.

х¹⁰+х¹⁰+...+х¹⁰ = 100х¹⁰

3) Теперь возвратимся к данному пределу, оставив только старшие степени числителя и знаменателя:

$lim_{x to infty} frac{(x+1)^{10}+(x+2)^{10}+...+(x+100)^{10}}{x^{10}+10^{10}}=(frac{infty}{infty})=lim_{x to infty}frac{100x^{10}}{x^{10}}=$

$lim_{x to infty}frac{frac{100x^{10}}{x^{10}} }{frac{x^{10}}{x^{10}}}= lim_{x to infty} frac{100}{1}=100$