Помогите найти производную

Ответ

Проверено экспертом

Автор - ArtemCoolAc

Это сложная функция.

Производная сложной функции:

$boxed{(f(g(x))'=f'(g(x))cdot g'(x)}$

Внимательно смотрим на первую формулу. При взятии производной от сложной функции сначала производная берется по "внешней" функции, то есть той, которая вычисляется последней. И вот все то добро, которое у неё в аргументе, никуда не девается.

Формулу можно так записать, чтоб понятнее было:

$boxed{(f(g(x))' = f'(t)cdot t'(x)}$

Можно записать ещё дальше вложенность функций:

$boxed{(f(g(h(u(x)))))' = f'(g(h(u(x))))cdot g'(h(u(x)))cdot h'(u(x))cdot u'(x)}$

И так можно для любого уровня вложенности. Принцип понятен.

Вспомним пару правил нахождения производных

$boxed{(f(x)pm g(x))' = f'(x) pm g'(x)};boxed{(f(x)cdot g(x))' = f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x)}$

$$boxed{bigg(frac{f(x)}{g(x)} bigg)'=frac{f'(x)cdot g(x)-f(x)cdot g'(x)}{g^2(x)} }$

Запишем нашу функцию через натуральный логарифм

Имеем вообще такой вид (пока без степени):

$$(log_{f(x)}g(x))'=bigg(frac{ln(g(x))}{ln(f(x))} bigg)'=frac{(ln(g(x)))'cdot ln(f(x))-ln(g(x))cdot (ln(f(x)))'}{ln^2(f(x))}$

Преобразуем чуть-чуть

$$boxed{(log_{f(x)}g(x))'= frac{frac{g'(x)}{g(x)} cdot ln(f(x))- frac{f'(x)}{f(x)} cdot ln(g(x))}{ln^2(f(x))}}$

где $f(x)=sin(x)$ , а $g(x)=cos(x)$ .

Представим нашу функцию в несколько общем виде и найдем производную

$y'=(f(x)^{g(x)})'=(e^{ln(f(x))^{g(x)}})'=(e^{g(x)cdot ln(f(x))})'=\= e^{g(x)cdot ln(f(x))}cdot (g'(x)cdot ln(f(x))+g(x)cdot frac{f'(x)}{f(x)} )$

$$boxed{y'=f(x)^{g(x)}cdot bigg(g'(x)cdot ln(f(x))+g(x)cdot frac{f'(x)}{f(x)} bigg) }$

где $f(x)=log_{sin(x)}cos(x); g(x)=tg(x);$

Производная f(x) найдена, а для g(x):

$$(g(x))'=(tg(x))'=frac{1}{cos^2x}$

Вычисляем производную:

$$y'=(log_{sin(x)}cos(x))^{tg(x)}cdot bigg(frac{ln(log_{sin(x)}cos(x))}{cos^2x}+$

$$+frac{tg(x)}{log_{sin(x)}cos(x)}cdot frac{frac{-sin(x)}{cos(x)}cdot ln(sin(x))-frac{cos(x)}{sin(x)}cdot ln(cos(x)) }{ln^2(sin(x))} bigg)$

Здесь разве что можно дроби на тангенс и котангенс заменить и все.

$$y'=(log_{sin(x)}cos(x))^{tg(x)}cdot bigg(frac{ln(log_{sin(x)}cos(x))}{cos^2x}+$

$$+frac{tg(x)}{log_{sin(x)}cos(x)}cdot frac{-tg(x) cdot ln(sin(x))- ctg(x) cdot ln(cos(x)) }{ln^2(sin(x))} bigg)$

помогите найти производную

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

помогите найти производную​

Ответ

Проверено экспертом

помогите найти производную