Доказать методом математической индукции, что: см. 23 номер

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Доказать что число 5 * 2^(3n-2) + 3^(3n-1) делится на 19

Доказательство:

1) База индукции: n = 1

$5cdot 2^{3cdot 1-2}+3^{3cdot 1-1}=10+9=19~vdots~19$

2) Предположим что и при $n=k$ выражение $left(5cdot 2^{3k-2}+3^{3k-1}right)~vdots~19$

3) Индукционный переход: n = k+1

$5cdot2^{3(k+1)-2}+3^{3(k+1)-1}=5cdot 2^{3k+1}+3^{3k+2}=5cdot 8cdot 2^{3k-2}+27cdot 3^{3k-1}=\ \ =40cdot 2^{3k-2}+27cdot 3^{3k-1}=40cdot 2^{3k-2}+8cdot 3^{3k-1}+19cdot 3^{3k-1}=\ \ =8cdot (underbrace{5cdot 2^{3k-2}+3^{3k-1}}_{div~~19})+19cdot 3^{3k-1}$

Первое слагаемое делится на 19 по предположению (второй пункт), а второе слагаемое очевидно что делится на 19, так как имеет сомножитель 19.