Докажите что при любом натуральном n выражение 7^n-6*2^n делится на 5

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Докажем методом математической индукции.

1) База индукции: $n=1$

$7^1-6cdot 2^1=-5$ делится на 5.

2) Предположим, что и при $n=k$ выражение $left(7^k-6cdot 2^kright)~vdots~5$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$7^{k+1}-6cdot 2^{k+1}=7cdot 7^k-12cdot 2^k=7cdot 7^k-42cdot 2^k+30cdot 2^k=\ \ =7cdotleft(underbrace{7^k-6cdot 2^k}_{div~5}right)+30cdot 2^k$

Первое слагаемое делится на 5 по предположению (пункт 2), а второе слагаемое тоже делится на 5, так как имеет сомножитель 30. Следовательно, $left(7^n-6cdot 2^nright)~vdots~5$ для всех натуральных $n.$

ДОКАЖИТЕ ЧТО ПРИ ЛЮБОМ НАТУРАЛЬНОМ N ВЫРАЖЕНИЕ 7^N-6*2^N ДЕЛИТСЯ НА 5

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения