Дано При lim x -> 3 (y) = 1/4. Найти дельту для (0.01 = Epsilon). Ответ delta <

Ответ: δ<2/13.

Пошаговое объяснение:

Пусть A - предел функции f(x) при x⇒x0. Зададим сколь угодно малое число ε>0. Тогда для нахождения δ - окрестности точки x=x0 нужно  решить неравенство /f(x)-A/<ε, которое равносильно двойному неравенству A-ε<f(x)<A+ε. В нашем случае x0=3, A=lim(x⇒x0) f(x)=lim(x⇒3) (x-1)/[2*(x+1)]=2/8=1/4=0,25, ε=0,01. Поэтому написанное выше неравенство приобретает вид: 0,25-0,01<(x-1)/[2*(x+1)]<0,25+0,01, или  0,24<(x-1)/[2*(x+1)]<0,26, или 0,48<(x-1)/(x+1)<0,52.

1) Неравенство 0,48<(x-1)/(x+1) имеет решение x∈(-∞;-1)∪(37/13;+∞).

2) Неравенство (x-1)/(x+1)<0,52 имеет решение x∈(-1;19/6).

Таким образом, общим для обоих неравенств является решение x∈(37/13;19/6). Но x0-37/13=3-37/13=2/13, а 19/6-x0=19/6-3=1/6=2/12. Так 2/12>2/13, то поэтому в качестве δ нужно взять положительное число, меньшее, чем 2/13. То есть δ<2/13.