Правильная шестиугольная пирамида. Угол между боковой гранью и основанием - 30 градусов. Площадь боковой поверхности - 300. Найти объём пирамиды.

Ответ

Автор - akaman32

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$V=frac{1}{3} So.*h$ (где V-объём правильной шестиугольной пирамиды, So.- площадь основания пирамиды, h- высота пирамиды).

"Как видите, ни один из элементов формулы нам пока не известен. Нужно выразить их из данных условия, т.е. через площадь боковой поверхности пирамиды."

$Sb.=frac{1}{2} P*a$ (где Sb.- площадь боковой поверхности шестиугольной правильной пирамиды, P- периметр основания, a- апофема пирамиды.)

Так как основанием пирамиды является правильный шестиугольник, то

$Sb.=3b*a$ (где b-длина стороны основания)

Учитывая, что угол между боковой гранью и основанием равен 30°, то апофема и высота пирамиды относятся, как, соответственно, гипотенуза и меньший катет в прямоугольном треугольнике, т.е.

$h=frac{1}{2} a$ ; (из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой пирамиды и проекцией апофемы на основание h=a*sin(30°))

Найдём отношение площади боковой поверхности Sb. и площади основания Sо. Каждая из поверхностей раскладывается на 6 равных треугольников.

Площадь бокового треугольника равна

$frac{1}{2}b*a$

Площадь треугольника основания равна

$frac{1}{2} b*frac{sqrt{3} }{2}a =frac{sqrt{3} }{4} ab$ (т.к. высота в таком треугольнике есть проекцией апофемы на основание и равна

a*cos(30°)= $frac{sqrt{3}} {2} a$ ).

Значит отношение площади боковой поверхности и площади основания равно:

$frac{Sb}{So} =frac{2}{sqrt{3} }$

Тогда площадь основания So можно выразить через площадь боковой поверхности как:

$So=frac{sqrt{3} }{2} Sb$

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нужно выразить апофему а через площадь боковой поверхности Sb.

Основание - правильный шестиугольник, состоит из 6 правильных треугольников с внутренними углами по 60°. Высоту такого треугольника мы уже находили $frac{sqrt{3}} {2} a$ . Такая высота (являясь также биссектрисой) делит правильный треугольник на 2 прямоугольных с прилежащим к ней углом 30° (60°/2=30°).

Тогда сторона b правильного треугольника равна

$b=frac{frac{sqrt{3} }{2} a}{cos (30)} =a$