Математический индукция 22+35+...+(n+1)(3n-1)=n(2n^+5n+1)/2 нужно доказать . Пожалуйста помогите!!!

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

В равенстве слева сумма имеет общий член $a_n=(n+1)(3n-1)$

1) Базис индукции: $n=1$

$(1+1)cdot (3cdot 1-1)~=4=dfrac{2cdot 1^2+5cdot 1+1}{2}=4$

2) Предположим, что и для $n=k$ верно равенство

$2cdot 2+3cdot 5+...+(k+1)(3k-1)=dfrac{k(2k^2+5k+1)}{2}$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$underbrace{2cdot 2+3cdot 5+...+(k+1)(3k-1)}_{frac{k(2k^2+5k+1)}{2}}+(k+2)(3k+2)=\ \ \ =dfrac{(k+1)(2(k+1)^2+5(k+1)+1)}{2}\ \ \ dfrac{k(2k^2+5k+1)}{2}+(k+2)(3k+2)=dfrac{(k+1)(2k^2+4k+2+5k+5+1)}{2}\ \ \ dfrac{2k^3+5k^2+k}{2}+3k^2+8k+4=dfrac{(k+1)(2k^2+9k+8)}{2}\ \ \ dfrac{2k^3+5k^2+k+6k^2+16k+8}{2}=dfrac{2k^3+9k^2+8k+2k^2+9k+8}{2}$

$dfrac{2k^3+11k^2+17k+8}{2}=dfrac{2k^3+11k^2+17k+8}{2}$

Равенство верно для всех натуральных n. Что и требовалось доказать.

Математический индукция 2*2+3*5+...+(n+1)(3n-1)=n(2n^+5n+1)/2 нужно доказать . Пожалуйста помогите!!!

Ответ

Проверено экспертом

Математический индукция 22+35+...+(n+1)(3n-1)=n(2n^+5n+1)/2 нужно доказать . Пожалуйста помогите!!!