Найти $lim_{n to infty} (frac{1}{a1a2} + frac{1}{a2a3} + ... + frac{1}{a_{n}a_{n+1} })$ ,
где { $a_{k}$ } - арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Распишем сначала сумму для удобства и потом подсчитаем предел

$dfrac{1}{a_1a_2}+dfrac{1}{a_2a_3}+...+dfrac{1}{a_na_{n+1}}=dfrac{1}{d}left(dfrac{d}{a_1a_2}+dfrac{d}{a_2a_3}+...+dfrac{d}{a_na_{n+1}}right)=\ \ \= dfrac{1}{d}left(dfrac{d}{a_1(a_1+d)}+dfrac{d}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+dfrac{d}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}right)=\ \ \ =dfrac{1}{d}bigg(dfrac{a_1+d-a_1}{a_1(a_1+d)}+dfrac{a_1+2d-(a_1+d)}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+dfrac{a_1+nd-(a_1+(n-1)d)}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}bigg)=$

$=dfrac{1}{d}bigg(dfrac{1}{a_1}-dfrac{1}{a_1+d}+dfrac{1}{a_1+d}-dfrac{1}{a_1+2d}+...+dfrac{1}{a_1+(n-1)d}-dfrac{1}{a_1+nd}bigg)=\ \ \ =dfrac{1}{d}cdot left(dfrac{1}{a_1}-dfrac{1}{a_1+nd}right)$

Переходя к пределу при $nto infty$ мы получим

$displaystyle lim_{n to infty}dfrac{1}{d}left(dfrac{1}{a_1}-dfrac{1}{a_1+nd}right)=dfrac{1}{a_1d}$

Ответ: $displaystyle lim_{n to infty}left(dfrac{1}{a_1a_2}+dfrac{1}{a_2a_3}+...+dfrac{1}{a_na_{n+1}}right)=dfrac{1}{a_1d}$

Найти , где {} - арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля.

Ответ

Проверено экспертом

Найти $lim_{n to infty} (frac{1}{a1a2} + frac{1}{a2a3} + ... + frac{1}{a_{n}a_{n+1} })$ ,
где { $a_{k}$ } - арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля.