Помогите решить sin(x) + ctg(x/2) = 2

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$sin x+{rm ctg},frac{x}{2}=2\ \ sin x+dfrac{cos frac{x}{2}}{sin frac{x}{2}}=2\ \ sin x+dfrac{sin frac{x}{2}cos frac{x}{2}}{sin^2frac{x}{2}}=2\ \ sin x+dfrac{sin x}{1-cos x}=2~~~~bigg|cdot (1-cos x)ne 0\ \ sin x-sin xcos x+sin x=2-2cos x\ \ 2(sin x+cos x)-sin xcos x-2=0$

Пусть $sin x+cos x=t$ при этом $|t|leq sqrt{2}$ , тогда возведя обе части до квадрата, получим $1+2sin xcos x=t^2$ откуда $sin xcos x=frac{t^2-1}{2}$ , подставляем.

$2t-dfrac{t^2-1}{2}-2=0~~~bigg|cdot 2\ \ 4t-t^2+1-4=0\ \ t^2-4t+3=0$

По теореме Виета

$t_1=3$ - не удовлетворяет условию при $|t|leq sqrt{2}$

$t_2=1$

Возвращаемся к обратной замене

$sin x+cos x=1~~~bigg|cdot dfrac{1}{sqrt{2}}\ \ dfrac{1}{sqrt{2}}sin x+dfrac{1}{sqrt{2}}cos x=dfrac{1}{sqrt{2}}\ \ sin xcos dfrac{pi}{4}+cos xsin dfrac{pi}{4}=dfrac{1}{sqrt{2}}\ \ sin left(x+dfrac{pi}{4}right)=dfrac{1}{sqrt{2}}$

$displaystyle left[begin{array}{ccc}x+dfrac{pi}{4}=dfrac{pi}{4}+2pi k,k in mathbb{Z}\ \ x+dfrac{pi}{4}=dfrac{3pi}{4}+2pi k,k in mathbb{Z}end{array}right~~Rightarrow~~ left[begin{array}{ccc}x_1=2pi k,k in mathbb{Z}\ \ x_2=dfrac{pi}{2}+2pi k,k in mathbb{Z}end{array}right$

Заметим, что ОДЗ уравнения $sin frac{x}{2}ne0$ откуда $xne 2pi k$ , следовательно, первый корень нужно отбросить.

Ответ: $dfrac{pi}{2}+2pi k,k in mathbb{Z}$

Помогите решить
Sin(x) + Ctg(x/2) = 2

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

Помогите решить Sin(x) + Ctg(x/2) = 2

Ответ

Проверено экспертом

Помогите решить
Sin(x) + Ctg(x/2) = 2