Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть равным 25k + 1 ни при каком натуральном k.

n(n+1) = 25k+1 ; рассмотрим остатки от деления числа n на 5 :

1) если  n = 5m ,   то левая часть кратна 5 , а правая нет

2) если n = 5m+1 ,  то n(n+1) = (5m+1)·(5m+2) = 25m²+15m +2

25m²+15m +2 = 25k+1 или :  25m²+15m - 25k = -1 , равенство

невозможно , так как левая часть кратна 5 , а правая нет  

3)  если n = 5m+2, то   n(n+1) = (5m+2)·(5m+3) = 25m²+25m +6 ,

25m²+25m +6 = 25k +1 или : 5m² +5m -5k  = - 1 ; равенство

невозможно , так как левая часть кратна 5 , а правая нет  

4) если n = 5m+3 , то   n(n+1) = (5m+3)·(5m+4) = 25m² + 35m +12

25m² + 35m +12 = 25k+1 ⇒ 25m² + 35m -25k = -11 ; равенство

невозможно ,  так как левая часть кратна 5 , а правая нет  

5) если n = 5m+4  , то   n(n+1) = (5m+4)·(5m+5) = 5( m+1)(5m+4)

5( m+1)(5m+4) = 25k +1 ,  равенство невозможно ,

так как левая часть кратна 5 , а правая нет