Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям


y′ − y cos x = e^sin x ; y (0)= 1.

Ответ:

y = (x+1) e^sin x

Пошаговое объяснение:

y′ − y cos x = e^sin x

обе части делим на e^sin x

y′ /e^sin x  − y cos x /e^sin x  = 1

в левой части дифференциал  произведения

d( y /e^sin x )/dx = y′ /e^sin x  − y cos x /e^sin x

тогда

d( y /e^sin x )/dx  = 1

d( y /e^sin x )  = dx

интегрируем

∫ d( y /e^sin x )  = ∫ dx

y /e^sin x   = x +C

y = (x+C) e^sin x - общее решение

подставляем начальные условия и находим С

y (0)= 1

1 = (0+C) e^sin 0

C = 1

подставляем С в общее решение

y = (x+1) e^sin x