1. Упростить уравнение функции y=x4+x41+x4+x4(1+x4)2+x4(1+x4)3+⋯ и найти ее значение, если x=3.
2. Укажи номер члена последовательности yn=13−n/5n+8, равного 5/48.

очень срочно умоляю помогите

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Universalka

$x^{4}+frac{x^{4}}{1+x^{4}}+frac{x^{4} }{(1+x^{4})^{2}}+frac{x^{4}}{(1+x^{4})^{3}}+...}=x^{4} (1+frac{1}{1+x^{4}}+frac{1}{(1+x^{4})^{2}}+frac{1}{(1+x^{4})^{3}}+...)$

То что в скобках - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия в которой b₁ = 1 , а q = 1/(1+x⁴).

Найдём сумму этой прогрессии :

$S=frac{b_{1} }{1-q} =frac{1}{1-frac{1}{1+x^{4}}}=frac{1}{frac{1+x^{4}-1 }{1+x^{4}}}=frac{1}{frac{x^{4} }{1+x^{4}}}=frac{1+x^{4} }{x^{4}}$

Следовательно :

$x^{4}+frac{x^{4} }{1+x^{4}}+frac{x^{4}}{(1+x^{4})^{2}}=frac{x^{4} }{(1+x^{4})^{3}}+... =x^{4}*frac{1+x^{4}}{x^{4}}=1+x^{4} \\x=3\\1+x^{4}=1+3^{4}=1+81=82\\Otvet:boxed{82}$

$y_{n}=frac{13-n}{5n+8}\\y_{n}=frac{5}{48}\\frac{13-n}{5n+8}=frac{5}{48}\\48(13-n)=5(5n+8)\\624-48n=25n+40\\-48n-25n=40-624\\-73n=-584\\n=8\\Otvet:boxed{n=8}$