Какую роль играет прямая речь в предложении? То есть подчеркивается ли она как-то при синтаксическом разборе или нет. Вообще, что с ней надо делать при синтаксическом разборе?

Прямая речь используется для того, чтобы дословно передать чужую речь.

При синтаксическом разборе прямая речь и авторские слова рассматриваются как отдельные предложения, поскольку каждое из них имеет свою цель высказывания.

например:

Он возмущённо спросил:«Скоро вы соберётесь?»

А:«П?»

Предложение с прямой речью, прямая речь по отношению к словам автора находится в постпозиции (после слов автора).

Слова автора представляют собой повествовательное предложение, невосклицательное, двусоставное, распространённое, полное. Прямая речь — предложение вопросительное, невосклицательное, двусоставное, распространённое, полное.

Соответственно члены предложения и части речи определяются как обычно.