Mатематический индукция 13+25+...+n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)/6 нужно доказать . Пожалуйста помогите!!!

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

В равенстве слева сумма имеет общий член $a_n=n(2n+1)$

1) Базис индукции: $n=1$

$1cdot (2cdot 1+1)=dfrac{1cdot (1+1)cdot (4cdot 1+5)}{6}~~~Rightarrow~~~ 3=3$

2) Предположим, что и для $n=k$ верно равенство

$1cdot 3+2cdot 5+...+k(2k+1)=dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$underbrace{1cdot 3+2cdot 5+...+k(2k+1)}_{frac{k(k+1)(4k+5)}{6}}+(k+1)(2k+3)=dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\ \\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}+(k+1)(2k+3)=dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\ \ \ (k+1)left(dfrac{k(4k+5)}{6}+2k+3right)=dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\ \ \ (k+1)cdot dfrac{4k^2+5k+12k+18}{6}=dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\ \ \ dfrac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}=dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\ \ \ dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}=dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$

Равенство выполняется для всех натуральных n. Что и требовалось доказать.

Mатематический индукция 1*3+2*5+...+n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)/6 нужно доказать . Пожалуйста помогите!!!

Ответ

Проверено экспертом

Mатематический индукция 13+25+...+n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)/6 нужно доказать . Пожалуйста помогите!!!