(a-3)*4^x-8*6^x+(a+3)9^x=0помогите решить при каких значениях а уравнение не имеет корней

Ответ

Автор - Trover

$(a-3)cdot4^x-8cdot6^x+(a+3)cdot9^x=0\(a-3)cdot(2^2)^x-8cdot(2cdot3)^x+(a+3)cdot(3^2)^x=0\(a-3)cdot(2^x)^2-8cdot2^xcdot3^x+(a+3)cdot(3^x)^2=0$

Для удобства произведём замену переменных:

$2^x=p,;3^x=q,;p>0,;q>0\\(a-3)p^2-8pq+(a+3)q^2=0$

Рассмотрим последнее уравнение как квадратное в отношении переменной p (можно и в отношении q - результат будет тот же). Оно не будет иметь корней, если его дискриминант будет отрицательным.

$D=(8q)^2-4cdot(a-3)cdot(a+3)q^2=64q^2-4q^2(a^2-9)=64q^2-4a^2q^2+36q^2=\=100q^2-4a^2q^2=4q^2cdot(25-a^2)=4q^2(5-a)(5+a)$

Решение задачи сводится к решению неравенства $4q^2(5-a)(5+a)<0$ . Очевидно, что множитель 4q² будет положительным при любых q≠0. Однако ранее мы определили, что q>0, значит этот множитель не влияет на неравенство, и мы можем его отбросить.

$(5-a)(5+a)<0$

Получаем три интервала для a: $(-infty;;-5),;(-5;;5);u;(5;;+infty).$

Проверив знаки на каждом интервале, получим, что последнее неравенство выполняется при $boxed{ain(-infty;;-5)cup(5;;+infty)}$

(a-3)4^x-86^x+(a+3)9^x=0помогите решить при каких значениях а уравнение не имеет корней

Ответ

Ответы и объяснения