Помогите решить предел

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

$tg2x-2tgx=frac{2tgx}{1-tg^2x}-2tgx=2tgxcdot (frac{1}{1-tg^2x}-1)=2tgxcdot frac{1-1+tg^2x}{1-tg^2x}=\\=2tgxcdot frac{tg^2x}{1-frac{sin^2x}{cos^2x}}=2cdot frac{tg^3xcdot cos^2x}{cos^2x-sin^2x}=2cdot frac{sin^3xcdot cos^2x}{cos^3xcdot cos2x}=2cdot frac{sin^3x}{cosxcdot cos2x} \\\\sin2x-2sinx=2sinxcdot cosx-2sinx=2sinxcdot (cosx-1)=\\=-2sinx(1-cosx)=-2sinxcdot 2sin^2frac{x}{2}=-4sinxcdot sin^2frac{x}{2}$

$limlimits _{x to 0}frac{tg2x-2tgx}{sin2x-2sinx}=limlimits _{x to 0}frac{2, sin^3x}{cosxcdot cos2xcdot (-4sinxcdot sin^2frac{x}{2})}=\\=limlimits _{x to 0}frac{sin^2x}{-2cdot cosxcdot cos2xcdot sin^2frac{x}{2}}=limlimits _{x to 0}frac{(2sinfrac{x}{2}cdot cosfrac{x}{2})^2}{-2cdot cosxcdot cos2xcdot sin^2frac{x}{2}}=\\=limlimits _{x to 0}frac{4cdot cos^2frac{x}{2}}{-2cdot cosxcdot cos2x}=frac{4cdot 1}{-2cdot 1cdot 1}=-2\\star ; ; cos0=1; ; star$