40 баллов, условия на фото — Школьные Знания.net

Ответ

Проверено экспертом

Автор - NNNLLL54

АВСD - трапеция, АD и ВС - основания, АD || ВС , АС и ВД - диагонали , M=АС ∩ ВД , S(АDМ)=S₁ , S(BCM)=S₂ .

Док-ть, что $S(ABCD)=(sqrt{S_1}+sqrt{S_2})^2$ .

1. Рассм. ΔАВD и ΔACD. Их площади равны, т.к. у них одинаковое основание AD и равные высоты ( высоты этих треугольников равны высоте трапеции). S(ABD)=S(ACD). Отсюда следует, что

S(ABM)=S(CDM) , т.к. S(ABM)=S(ABD)-S(AMD)=S(ACD)-S(AMD)=S(CDM) .

Обозначим S=S(ABM)=S(CDM) .

2. Рассм. ΔАВМ и ΔВСМ . У этих треугольников равны высоты, проведённые из вершины В . Поэтому их площади относятся как их основания:

$frac{S(BCM)}{S(ABM)}=frac{0,5cdot h_1cdot CM}{0,5cdot h_1cdot AM}=frac{CM}{AM}; ; Rightarrow ; ; ; frac{S_2}{S}=frac{CM}{AM}$

3. Aналогично, для треугольников ВСМ и DCM:

$frac{S(BCM)}{S(DCM)}=frac{0,5cdot h_2cdot BM}{0,5cdot h_2cdot DM}=frac{BM}{DM}; ; Rightarrow ; ; ; frac{S_2}{S}=frac{BM}{DM}$

4. Рассм. ΔВСМ и ΔADM. ∠ВМС=∠AMD ( как вертикальные). Запишем отношение площадей этих треугольников по формуле, использующей синус угла:

$frac{S(BCM)}{S(ADM)}=frac{0,5cdot BMcdot CMcdot sinangle BMC}{0,5cdot AMcdot DMcdot sinangle AMD}=frac{BM, cdot , CM}{AM, cdot , DM}=frac{CM}{AM}cdot frac{BM}{DM}; ; Rightarrow \\frac{S_2}{S_1}=frac{S_2}{S}cdot frac{S_2}{S}; ; Rightarrow ; ; ; frac{S_2}{S_1}=frac{S_2^2}{S^2}; ; Rightarrow ; ; ; S^2=S_1cdot S_2; ; Rightarrow ; ; S=sqrt{S_1S_2}$

$S(ABCD)=S(ADM)+S(BCM)+S(ABM)+S(DCM)=\\=S_1+S_2+2S=S_1+S_2+2sqrt{S_1S_2}=(sqrt{S_1}+sqrt{S_2})^2\\S(ABCD)=(sqrt{S_1}+sqrt{S_2})^2$