Найти площадь фигуры ограниченной линиями У=х^2+10 (парабола) и касательными к этой параболе проведенной из точки с координатами 0;1

Ответ

Автор - NNNLLL54

Ответ: S=18 кв.ед.

Пошаговое объяснение:

$y=x^2+10$

Составим уравнения касательных: $y=y(x_0)+y'(x_0)cdot (x-x_0)$ , где $x_0$ - точка касания .

$y'=2x; ,; ; y'(x_0)=2x_0; ; ,; ; y(x_0)=x_0^2+10$

Уравнение касательной имеет вид:

$y=(x_0^2+10)+2x_0cdot (x-x_0)\\y=-x_0^2+2x_0cdot x+10$

Теперь подставим в уравнение касательной координаты точки (0,1), которая принадлежит касательной:

$1=y(0)=-x_0^2+10; ; to ; ; x_0^2=9; ; ; to ; ; ; x_0=pm 3$

Получили 2 точки касания х₀=3 и х₀=-3 .

Теперь подставим эти значения в уравнение касательной:

$x_0=3:; y=-3^2+6x+10; ,; ; underline {y=6x+1}\\x_0=-3:; y=-(-3)^2-6x+10; ,; ; underline {y=-6x+1}$

Получили область между параболой и двумя касательными, симметричную относительно оси ОУ. Поэтому площадь заданной области можно считать как удвоенную площадь области, заключённой между параболой, одной из касательных и оси ОУ.

$S=2intlimits^3_0Big ((x^2+10)-(6x+1)Big )), dx=2intlimits^3_0, (x-3)^2, dx=2cdot frac{(x-3)^3}{3}Big |_0^3=\\=frac{2}{3}cdot (0^3-(-3)^3)=frac{2cdot 27}{3}=2cdot 9=18$

Ответ

Автор - Аккаунт удален

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение: