Докажите, что из пяти целых чисел всегда можно выбрать два, разность квадратов которых делится на 7​

Понятно, что утверждение верно, если среди чисел есть два одинаковых.

Пусть таких нет

Понятно, что утверждение верно, если среди чисел есть два кратные 7.

Пусть таких нет.

Если есть только одно кратное 7, то его разность квадратов с любым из остальных точно не кратно 7.

Значит речь идет тогда только о 4-х разных  числах не кратных 7.

Разность квадратов М*М-Н*Н=(М-Н)*(М+Н)

Если среди 4-х чисел есть такие, что дают одинаковые остатки при делении на 7, то утверждение верно.

Пусть таких нет. Итак есть 4 числа которые дают разные остатки от деления на 7.

Остатки могут быть любые разные от 1 до 6.

Среди любых четырех из них найдется такая пара, что сумма  остатков равна 7.

Действительно. Какие бы мы не взяли 4 числа, например  с остатками Н1,Н2,Н3 и Н4 надо исключить из набора 4 числа с остатками (7-Н1), (7-Н2), (7-Н3),(7-Н4), а у нас всего 6 возможных остатков.

Это и доказывает утверждение.