Задача 1.
Согласно таблице производных основных функций производная от синуса икс равна косинусу икс, т. е.: (sinx)'=cosx.
Ответ задачи 1: вариант а) да.
--
Задача 2.
f(x)=4cosx+корень (3)x. Найти производную f'(x).
Производная от алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых, то есть: f '(x)= (4cosx)' + (корень (3)x)'
По правилам дифференцирования постоянный множитель можно вынести из под знака производной, т. е. можно вынести 4 и корень из 3 из под знаков производных:
f '(x)= 4*(cosx)' + корень (3)*(x)',
Теперь по таблице производных основных функций находим:
(cosx)' = -sinx
(x)' = 1
Тогда, подставляем найденные производные:
f '(x)= 4*(cosx)' + корень (3)*(x)' = f '(x)= 4*(-sinx) + корень (3)*(1) = -4sinx + корень (3)
Ответ задачи 2: вариант а)
--
Задача 3.
f(x)=(1/4)tg8x+корень (2). Найти производную f'(x).
Производная суммы равна сумме производных (по аналогии с задачей 2):
f '(x) = ((1/4)tg8x)' + (корень (2))'.
По таблице производных основных функций известно, что:
- производная от константы равна нулю, т. е. (корень (2))' = 0
- постоянный множитель можно вынести за знак производной, т. е. ((1/4)tg8x)'=(1/4)*(tg8x)'
По правилам дифференцирования известно, что производная сложной функции вида f(u(x)) равна произведению производной данной функции f по промежуточной переменной u(x) на производную этой промежуточной переменной u(x) по основной переменной, т. е.: f '(u(x))= f '(u) * u '(x)
Таким образом, найдем производную (tg8x)': (tg8x)'= (tg8x)' * (8x)' = (1 / ((cos8x)^2)) * 8 = 8/((cos8x)^2)
Теперь собираем полученные выражения:
f '(x) = ((1/4)tg8x)' + (корень (2))' = (1/4) * ((8)/((cos8x)^2)) + 0 = 2 / ((cos8x)^2)
Ответ задачи 3: вариант г)
--
Задача 4.
f(x)=3((sinx)^2). Найти f'(x), при x=Pi/6.
Найдем производную f'(x):
f '(x) = (3((sinx)^2))'
Постоянный множитель можно вынести за знак производной, т. е.:
(3((sinx)^2))'=3*(((sinx)^2))'
Производная сложной функции выполняется по правилу дифференцирования, как написано в предыдущем решении задачи №3: ((sinx)^2)'=(u^2)' * (sinx)', где u - это промежуточная переменная u(x)=sinx.
По таблице производных основных функций:
- производная от икс в степени C (C - некая константа) (x^C)' = C*(x^(C-1)), т. е. (u^2)' = 2u = 2sinx
- производная синуса икс равна косинусу икс: (sinx)'=cosx
Теперь соберем найденные выражения:
f'(x) = (3((sinx)^2))' = 3*(((sinx)^2))' = 3*(2sinx * cosx) = 6 * sinx * cosx
При x=Pi/6 известно, что sin(Pi/6)=0.5, cos(Pi/6)=корень (3)/2
Тогда: f '(Pi/6) = 6 * sinx * cosx = 6 * 0.5 * корень (3)/2 = (3 * корень (3))/2
Ответ задачи 4: вариант в)
--
Задача 5.
f(x)=2xctgx. Найти f '(x).
Здесь видно произведение константы и двух функций: константа умножена на функцию x и все это умножено на функцию ctgx.
По правилам дифференцирования:
- постоянный множитель можно вынести за знак производной.
- а производная произведения двух функций равна: (f(x) * g(x)) ' = f'*g + f*g'
Тогда:
f'(x) = (2xctgx)' = 2 * (xctgx)' =2 * (((x)' * ctgx) + (x * (ctgx)'))' =>>
По таблице производных основных функций находим:
(x)'=1
(ctgx)' = -1/((sinx)^2)
=>> 2 * (((x)' * ctgx) + (x * (ctgx)'))' = 2 * (1*ctgx + x*(-1/((sinx)^2))) = 2ctgx - 2x/((sinx)^2)
Ответ задачи 5: вариант г)
