Электростатика. очень нужна срочная помощь. (Отдаю все свои 66 баллов)
В приоретете решение 13, 10 и 9 задачи. Но прошу помочь еще с остальными номерами начиная от 4ого. Т.к я крайне сомневаюсь в своем решении. Заранее Спасибо больше)

Ответ

Автор - Anthony2003

Ответ:

13) $C = ( frac{k}{varepsilon_1 R_1} - frac{k}{varepsilon_1 R} + frac{k}{varepsilon_2 R} - frac{k}{varepsilon_2 R_2} )^{-1}$

10) $W_Sigma = -frac{3kq^2}{2a}$

9) 1.843 мДж/м

Объяснение:

13. Поле в сферическом конденсаторе создаётся только зарядами внутренней обкладки, а в диэлектриках – ещё и связанным зарядом.

Для определённости, пусть $R_1 < R < R_2$ ,

$varepsilon = varepsilon_1$ для $r in [R_1 ; R]$ и $varepsilon = varepsilon_2$ для $r in [R ; R_2]$ ;

$C = frac{q}{U}$ ;

$U = varphi_1-varphi_2 = varphi_1 - varphi + varphi - varphi_2$ ;

$varphi_1 - varphi = frac{kq}{varepsilon_1 R_1} - frac{kq}{varepsilon_1 R} = kq ( frac{1}{varepsilon_1 R_1} - frac{1}{varepsilon_1 R} )$ ;

$varphi - varphi_2 = kq ( frac{1}{varepsilon_2 R} - frac{1}{varepsilon_2 R_2} )$ ;

$U = ( varphi_1 - varphi ) + ( varphi - varphi_2 ) = kq ( frac{1}{varepsilon_1 R_1} - frac{1}{varepsilon_1 R} ) + kq ( frac{1}{varepsilon_2 R} - frac{1}{varepsilon_2 R_2} )$ ;

$U = kq ( frac{1}{varepsilon_1 R_1} - frac{1}{varepsilon_1 R} + frac{1}{varepsilon_2 R} - frac{1}{varepsilon_2 R_2} )$ ;

$C = frac{q}{ kq ( frac{1}{varepsilon_1 R_1} - frac{1}{varepsilon_1 R} + frac{1}{varepsilon_2 R} - frac{1}{varepsilon_2 R_2} ) } = frac{1}{ k ( frac{1}{varepsilon_1 R_1} - frac{1}{varepsilon_1 R} + frac{1}{varepsilon_2 R} - frac{1}{varepsilon_2 R_2} ) }$ ;

$C = ( frac{k}{varepsilon_1 R_1} - frac{k}{varepsilon_1 R} + frac{k}{varepsilon_2 R} - frac{k}{varepsilon_2 R_2} )^{-1}$ ;

10. Энергия взаимодействия левого заряда с центральным: $W_{LC} = -frac{kq^2}{a}$ ;

энергия взаимодействия правого заряда с центральным: $W_{CR} = -frac{kq^2}{a}$ ;

энергия взаимодействия левого заряда с правым: $W_{LR} = frac{kq^2}{2a}$ ;

Полная энергия взимодействия: $W_Sigma = W_{LC} + W_{CR} + W_{LR} = frac{kq^2}{a} (-1-1+frac{1}{2}) = - frac{3kq^2}{2a}$ ;

9. Из Теоремы Гаусса, поле бесконечной струны может быть вычислено, как $E = frac{ 2 k eta }{r}$ , где $eta = frac{Delta q}{Delta l}$ – линейное распределение заряда по струне, удельное к длине.

В любой электростатической системе потенциал представляется функцией, противоположной к первообразной напряжённости поля, а значит, для бесконечной струны потенциал может быть вычислен, как: $varphi = 2 k eta ln{ frac{rho}{r}}$ , где $rho$ – радиус нулевого потенциала, который выбирается свободно (но не меняется в ходе решения задачи), и чаще всего за радиус $rho$ нулевого потенциала уднобно принять радиус струны.

Потенциальная энергия взаимодействия куска $Delta l$ второй струны, находящейся на расстоянии $r_1$ от первой $Delta W = varphi cdot Delta q = 2 k eta ln{ frac{rho}{r_1}} cdot eta Delta l = 2 k eta^2 Delta l ln{ frac{rho}{r_1}}$ .

Потенциальная энергия взаимодействия второй струны, находящейся от первой на расстоянии $r_1$ , удельная к длине: $( frac{Delta W}{Delta l} )_1 = 2 k eta^2 ln{ frac{rho}{r_1}}$ .

Потенциальная энергия взаимодействия второй струны, находящейся от первой на расстоянии $r_2$ , удельная к длине: $( frac{Delta W}{Delta l} )_2 = 2 k eta^2 ln{ frac{rho}{r_2}}$ .

Работа, удельная к длине, совершаемая полем при увеличении расстояния между струнами от $r_1$ до $r_2$ равна разности потенциальных энергий этих конфигураций, удельных к длине:

$( frac{Delta A}{Delta l} )_{12} = ( frac{Delta W}{Delta l} )_1 - ( frac{Delta W}{Delta l} )_2 = 2 k eta^2 ln{ frac{rho}{r_1}} - 2 k eta^2 ln{ frac{rho}{r_2}} = 2 k eta^2 ( ln{ frac{rho}{r_1}} - ln{ frac{rho}{r_2}} )$ ;

$( frac{Delta A}{Delta l} )_{12} = 2 k eta^2 ln{ frac{rho r_2}{r_1 rho}} = 2 k eta^2 ln{ frac{r_2}{r_1}}$ ;

Работа, удельная к длине, совершаемая полем при увеличении расстояния между струнами от $r_2$ до $r_3$ будет равна: $( frac{Delta A}{Delta l} )_{23} = 2 k eta^2 ln{ frac{r_3}{r_2}}$ ;

Учитывая, что $r_2 = 2 r_1$ ,

$( frac{Delta A}{Delta l} )_{12} = 2 k eta^2 ln{ frac{2 r_1}{r_1}} = 2 k eta^2 ln{2}$ ;

и, кроме того, поскольку: $r_3 = r_2 + r_1 = 2r_1 + r_1 = 3r_1$ , то:

$( frac{Delta A}{Delta l} )_{23} = 2 k eta^2 ln{ frac{3 r_1}{2r_1}} = 2 k eta^2 ln{1.5}$ ;

Стало быть:

$( frac{Delta A}{Delta l} )_{23} / ( frac{Delta A}{Delta l} )_{12} = frac{ln{1.5}}{ln{2}} = frac{ln{3}-ln{2}}{ln{2}} = frac{ln{3}}{ln{2}}-1 = log_{2}{3}-1$ ;

Отсюда: $( frac{Delta A}{Delta l} )_{23} = ( log_{2}{3}-1 ) ( frac{Delta A}{Delta l} )_{12} = ( 1.585-1 ) 3.15$ мДж/м $=$

= 1.843 мДж/м .