Автор - danil918273 6 лет назад

Доказать, что если А — диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональна

Ответ

Автор - igorShap

Пусть $A=diag(a_1, a_2...a_n),: B=(b_{ij}),: AB=BA=C=(c_{ij})$

Выразим $c_{ij}$ из произведения $AB$ : $c_{ij}=(0:...:a_i:...:0)*left[begin{array}{ccc}b_{1j}\...\b_{nj}end{array}right] =a_ib_{ij}$

Аналогично с $BA$ : $c_{ij}=(b_{i1}:...:b_{in})*left[begin{array}{ccc}0\...\a_j\...\0end{array}right] =a_jb_{ij}$

Тогда $a_ib_{ij}=a_jb_{ij}$ . Т.к. $a_ineq a_j, ineq j$ , то $b_{ij}=0, ineq j$ , т.е. все элементы, находящиеся не на диагонали, нулевые. А это и означает, что матрица $B$ диагональная.

Доказано.

Предыдущий вопрос Следующий вопрос

Ответы и объяснения

Сервис носит ознакомительный характер, вся информация, а в частности вопросы и ответы, которые задают и отвечают пользователи.