Дано: А(1,2,3), В(–2,4,1), C(7,6,3) и D(4,–3,–1). Найти:
a) площадь треугольника ABC
b)косинус угла между векторами [AB,AC] и AD

Ответ

Проверено экспертом

Автор - AnonimusPro

Алгоритм решения такой:
1) Находим координаты и длины векторов AB и AC.
2) Находим косинус угла между данными векторами.
3) С помощью основного тригонометрического тождества находим синус.
4) Находим площадь - половина произведения двух сторон на синус угла между ними.
5) находим вектор p - результат векторного произведения векторов AB и AC
6) находим косинус угла между векторами p и AD

Решение:
$vec{AB}(-3,2,-2); vec{AC}(6,4,0)$
$|vec{AB}|=sqrt{9+4+4}=sqrt{17} \|vec{AC}|=sqrt{36+16+0}=sqrt{52}$
$cos(phi)=frac{vec{AB}*vec{AC}}{|vec{AB}|*|vec{AC}|}=frac{-18+8+0}{sqrt{52*17}}=-frac{5}{sqrt{221}}$
Косинус угла фи отрицательный=> данный угол тупой и расположен во 2 координатной четверти=> его синус положительный.
$sin(phi)=sqrt{1-cos^2(phi)}=sqrt{1-frac{25}{221}}=frac{sqrt{196}}{sqrt{221}}=frac{14}{sqrt{221}} \S=0.5*|vec{AB}|*|vec{AC}|*sin(phi)=frac{sqrt{17*52}*7}{sqrt{221}}=7*2=14$
$vec{AB} times vec{AC}=begin{vmatrix} i & j & k\ -3 & 2 & -2\ 6 & 4 & 0 end{vmatrix}=\=i*(2*0-(-2)*4)-j*((-3)*0-(-2)*6)+k*((-3)*4-2*6)=8vec{i}-12vec{j}-24vec{k} \vec{p}(8,-12,-24) \|vec{p}|=sqrt{64+12^2+24^2}=28 \vec{AD}(3,-5,-4); |vec{AD}|=sqrt{9+25+16}=5sqrt{2} \ cos(alpha)=frac{vec{p}*vec{AD}}{|vec{p}|*|vec{AD}|}=frac{24+60+4*24}{28*5sqrt{2}}=frac{9sqrt{2}}{14}$
Ответ:
a) 14
б) $frac{9sqrt{2}}{14}$

Дано: А(1,2,3), В(–2,4,1), C(7,6,3) и D(4,–3,–1). Найти: a) площадь треугольника ABC b)косинус угла между векторами [AB,AC] и AD

Ответ

Проверено экспертом

Дано: А(1,2,3), В(–2,4,1), C(7,6,3) и D(4,–3,–1). Найти:
a) площадь треугольника ABC
b)косинус угла между векторами [AB,AC] и AD