В урне 10 белых и 10 черных шаров. Все шары из урны извлекаются парами, причем
вынутые шары обратно не возвращают. Какова вероятность того, что все пары будут
состоять из разноцветных шаров.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Пусть $A_k$ (k = 1,2,...,n) - k-ая пара состоит из разноцветных шаров.

Вероятность выбрать первую пару из разноцветных шаров равна

$P(A_1)=dfrac{10cdot 10}{C^2_{20}}$

В урне остается 9 белых и 9 черных шаров. Вероятность выбрать вторую пару из разноцветных шаров равна

$P(A_2)=dfrac{9cdot 9}{C^2_{18}}$

Вероятность выбрать третью пару из разноцветных шаров равна

$P(A_3)=dfrac{8cdot8}{C^2_{16}}$

...

Вероятность выбрать девятую пару из разноцветных шаров, равна

$P(A_9)=dfrac{2cdot 2}{C^2_4}$

Вероятность выбрать десятую пару из разноцветных шаров, равна

$P(A_{10})=dfrac{1cdot 1}{C^2_2}$

Искомая вероятность по теореме умножения

$P=dfrac{10^2}{C^2_{20}}cdot dfrac{9^2}{C^2_{18}}cdot dfrac{8^2}{C^2_{16}}cdot ...cdot dfrac{2^2}{C^2_4}cdot dfrac{1^2}{C^2_2}=dfrac{2^{10}cdot (10!)^2}{(2cdot 10)!}=dfrac{2^{10}cdot (10!)^2}{20!}$

Ответ: $dfrac{2^{10}cdot (10!)^2}{20!}$ .