Постройте график y=x+2x-1

Ответ

Автор - xxxeol

ДАНО: У = (х+2)/(х-1)

ИССЛЕДОВАНИЕ. (возможно излишне для задачи)

1. Область определения функции.

Не допускается деление на 0 в знаменателе.

D(y) = -∞;1)∪(1;+∞) -
ООФ

2. Вертикальная асимптота - разрыв - при Х = 1.

3. Пересечение с осями координат.

С осью ОХ: Y=0 при Х+2 = 0 и Х=- 2 - нуль функции.

С осью ОУ: y(0) = -2.

4. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: y(x)<0: X∈[2; 1). Положительна: y(x)≥0: X∈(-∞;-2](∪(1;+∞).

5. Проверка на чётность.

y(-x) = (-x+ 2)/(x+1) - функция общего вида.

6. Первая производная - поиск экстремумов.

y'(x) = -(x+2)*/(x-1)² + 1/(x-1) = -3/(x-1)² = 0

Корней нет. Разрыв при Х = 1.

7. Локальные экстремумы в точке разрыва..

Минимум: $Ymin= lim_{x to 1-} Y(x)=-oo$

8. Интервалы монотонности.

Убывает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).

9. Вторая производная - поиск точек перегиба.

y"(x) = 6/(x-1)³ = 0

Корней нет

10. Поведение функции.

Выпуклая - "горка" - X∈(-∞;1).

Вогнутая - "ложка" - X∈(1;+∞)

11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.

k = lim(∞) Y(x)/x = lim (x+2)/(x²-x) = 0.

b = lim(∞)Y(x) - k*x = lim(∞) (x+2/(x-1) = 1/1 = 1

Горизонтальная асимптота: y = 1.

12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.