Знайдить уси пары такых натуральных чысел х та у що ( нсд(х,у))2=ху

Ответ

Проверено экспертом

Автор - axatar

Ответ:

Для всех равных пар натуральных чисел

Пошаговое объяснение:

Пусть канонические виды чисел x и y таковы:

$x=p_{1}^{alpha_{1}}*p_{2}^{alpha_{2}}*p_{3}^{alpha_{3}}*...*p_{k}^{alpha_{k}}$

$y=p_{1}^{beta_{1}}*p_{2}^{beta_{2}}*p_{3}^{beta_{3}}*...*p_{k}^{beta_{k}}$

где $p_{1}, p_{2}, p_{3}, ..., p_{k}$ - простые числа, а

$alpha_{1}}, alpha_{2}, alpha_{3}, ...,alpha_{k}, beta_{1}}, beta_{2}, beta_{3}, ...,beta_{k}$ - целые неотрицательные степени простых чисел (некоторые могут равняться нулю).

Тогда по свойству НОД(x; y)= $p_{1}^{t_{1}}*p_{2}^{t_{2}}*p_{3}^{t_{3}}*...*p_{k}^{t_{k}$

где $t_{1}}=min(alpha _{1}; beta_{1}), t_{2}}=min(alpha _{2}; beta_{2}), t_{3}}=min(alpha _{3}; beta_{1}), ..., t_{k}}=min(alpha _{k}; beta_{k})$

По условию НОД(x; y)²=x · y и отсюда следует, что

$2t_{1}}=alpha _{1}+beta_{1}, 2t_{2}}=alpha _{2}+beta_{2}, 2t_{3}}=alpha _{3}+beta_{1}, ..., 2t_{k}}=alpha _{k}+beta_{k}$

Очевидно, что значение min(m; n) или m или n. Поэтому, если

$min(alpha _{1}; beta_{1})=alpha _{1}$ , то из равенства $2t_{1}}=alpha _{1}+beta_{1}$ следует, что $2alpha _{1}=alpha _{1}+beta_{1}$ и $alpha _{1}=beta _{1}$ . Точно такое равенство можно установить если $min(alpha _{1}; beta_{1})=beta_{1}$ .

И такие равенства получаются для других степеней простых чисел.

Отсюда заключаем, что НОД(x; y)²=x · y, тогда и только тогда, когда x=y.

Отсюда следует ответ к задаче: для всех равных пар натуральных чисел.

знайдить уси пары такых натуральных чысел х та у що ( нсд(х,у))2=ху

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения