Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12 и сумма трех первых членов прогрессий равна 10,5. Найти первый член и знаменатель.

Ответ

Автор - WhatYouNeed

Пусть b₁ первый член убывающей геометрической прогресси. А q - разность прогрессии. Тогда:

$dfrac{b_1}{1-q} =12$

Второй член - qb₁; третий - q²b₁

$b_1+qb_1 +q^2b_1=10,! 5$

Выразим из двух уравнений b₁ , приравняем и вычислим q.

$displaystyle b_1 =12(1-q)\ b_1(1+q+q^2)=10,! 5\ b_1 =frac{10,!5}{1+q+q^2}$

То есть

$displaystyle 12-12q=frac{10,! 5}{1+q+q^2} \ 12+12q+12q^2-12q-12q^2-12q^3=10,! 5\ 12q^3=frac32\ q^3=frac3{3cdot 4cdot 2} =frac1{2^3} \ q=frac12$

Найдём b₁

$displaystyle frac{b_1}{1-q} =frac{b_1}{1-frac12 }=2b_1=12\ b_1=12div2=6$

Ответ: первый член 6, разность 0,5.