Докажите тождество!!!!!!!

Ответ

Автор - Helper211

Решение:

Рассмотрим левую часть: $sin^2(frac{15pi}{8}-2a)-cos^2(frac{17pi}{8}-2a)$

Вспоминаем формулы понижения степени: $sin^2(frac{x}{2})=frac{1-cosx}{2}$ ; $cos^2(frac{x}{2})=frac{1+cosx}{2}$

$sin^2(frac{15pi}{8}-2a)-cos^2(frac{15pi}{8}-2a) = frac{1-cos(frac{15pi}{4}-4a)}{2} - frac{1+cos(frac{17pi}{4}-4a)}{2} = frac{-cos(frac{17pi}{4}-4a)-cos(frac{15pi}{4}-4a)}{2}$

Вспоминаем формулу для косинуса разности: $cos(a-b)=cosacosb+sinasinb$

$frac{-cos(frac{17pi}{4}-4a)-cos(frac{15pi}{4}-4a)}{2} = frac{-(cos(frac{17pi}{4})cos(4a)+sin(frac{17pi}{4})sin(4a))-(cos(frac{15pi}{4})cos(4a)+sin(frac{15pi}{4})sin(4a))}{2}=frac{-cos(frac{17pi}{4})cos(4a)-sin(frac{17pi}{4})sin(4a)-cos(frac{15pi}{4})cos(4a)-sin(frac{15pi}{4})sin(4a)}{2}$

Далее вычислим:

$cos(frac{17pi}{4})=cos(frac{15pi}{4})=frac{sqrt{2}}{2}$

$sin(frac{17pi}{4})=frac{sqrt{2}}{2}\\sin(frac{15pi}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}$

Подставим:

$frac{-cos(frac{17pi}{4})cos(4a)-sin(frac{17pi}{4})sin(4a)-cos(frac{15pi}{4})cos(4a)-sin(frac{15pi}{4})sin(4a)}{2}=\\ frac{-frac{sqrt{2}}{2}cos4a-frac{sqrt{2}}{2}sin4a-frac{sqrt{2}}{2}cos4a+frac{sqrt{2}}{2}sin4a}{2}=frac{-sqrt{2}cos4a}{2}=frac{-cos4a}{sqrt{2}}$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Universalka

$Sin^{2}(frac{15pi }{8} -2alpha)-Cos^{2}(frac{17pi }{8}-2alpha)=Sin^{2}(2pi-(frac{pi }{8}+2alpha))-Cos^{2}(2pi +(frac{pi }{8}-2alpha))=Sin^{2}(frac{pi }{8}+2alpha )-Cos^{2}(frac{pi }{8}-2alpha)=(Sin(frac{pi }{8}+2alpha)-Cos(frac{pi }{8}-2alpha))*(Sin(frac{pi }{8}+2alpha)+Cos(frac{pi }{8} -2alpha))=(Sin(frac{pi }{8} +2alpha)-Sin(frac{3pi }{8}+2alpha))*(Sin(frac{pi }{8}+2alpha)+Sin(frac{3pi }{8}+2alpha)=$ $2Sin(-frac{pi }{8})Cos(frac{pi }{4}+2alpha)*2Sin(frac{pi }{4}+2alpha)Cos(-frac{pi }{8})=(-2Sinfrac{pi }{8}Cosfrac{pi }{8})*(2Sin(frac{pi }{4}+2alpha)Cos(frac{pi }{4}+2alpha))=-Sinfrac{pi }{4}*Sin(frac{pi }{2}+4alpha)=-frac{1}{sqrt{2}}*Cos4alpha=-frac{Cos4alpha}{sqrt{2}}\\-frac{Cos4alpha}{sqrt{2}}=-frac{Cos4alpha}{sqrt{2}}$