Около квадрата площадью S описана окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата есть величина постоянная, и найдите эту величину.

К - произвольная точка на окружности, AC и BD - диаметры окружности  ⇒  ∠АКС = ∠BKD = 90°

AC² = AK² + KC² , BD² = BK² + KD²

AK² + KC² + BK² + KD² = AC² + BD² = 2•AC² = 4•AC²/2 = 4•S

Ответ: 4S