10 класс
Задача 1. Андрей и Борис бегают по круговой дорожке, причём Андрей бежит
по часовой стрелке, а Борис — против. Если Андрей увеличит свою скорость в
три раза, мальчики начнут встречаться в полтора раза чаще. Во сколько раз
чаще они станут встречаться, если свою скорость увеличит в три раза Борис?
Задача 2. Из квадрата 5х5 вырезали четыре угловые клетки. Сколько суще-
ствует способов разрезать оставшуюся фигуру на прямоугольники 1 x 3?
Задача 3. Число называется палиндромом, если оно совпадает с числом, за-
писанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Сколько существует че-
тырёхзначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?
Задача 4. На координатной плоскости отмечены все точки, у которых обе ко-
ординаты натуральные и не превосходят 3. За один ход разрешается назвать
любые три вещественных числа а, ъис (a +0) и удалить все отмеченные точ-
ки, которые лежат на графике функции y = ax2 + bx + c. За какое наименьшее
число ходов можно удалить все отмеченные точки?
Задача 5. В стране есть 20 прямых автотрасс. Любые две автотрассы пересе-
каются, и на их пересечении расположен город. Через город А проходит семь из
этих автотрасс, через город В — четыре, через город С — три, а через каждый
из оставшихся городов — по две. Сколько городов в этой стране?
Задача 6. Биссектрисы углов Ви D вписанного четырёхугольника ABCD пе-
ресекаются на его диагонали АС. На прямой DA отметили точку Е такую, что
вершина А является серединой отрезка DE. Докажите, что описанная окруж-
ность треугольника DBE касается прямой DC.